La matematica di Galatea, ovvero come si capisce a quarant’anni il teorema di Pitagora (finalmente).

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Questa roba qua. Lo sapete che cos’è questa roba qua? Vi do un indizio: non è un disegnino per una coperta patchwork, né un quadro di Kandiskij o Mirò venuto male. E’ una dimostrazione matematica. Per essere precisi, è la dimostrazione del teorema di Pitagora, teorema che noi tutti imbranati in matematica conosciamo perché ci fece passare parecchi brutti momenti alle medie, e anche dopo, per quella storia del quadrato costruito sull’ipotenusa la cui area era equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti.

Perché? Nella maggior parte dei casi e degli alunni, la risposta è boh. Nel senso che si impara la formula, spesso correlata dal disegno fatto alla lavagna, e si crede per fede, o perché lo ha detto il prof.

A me capitò così, per esempio. La professoressa di matematica, alla medie, che già non mi aveva in gran simpatia perché mi considerava una scassaballe incredibile, una mattina fece il disegno di un triangolo rettangolo alla lavagna,  con i suoi bei quadrati costruiti su ipotenusa e cateti, ed enunciò il teorema. Io guardai il disegno e chiesi: «Perché?». Risposta: «Perché è evidente.»

A me non sembrava così evidente. O meglio, sì, era evidente per quella figura, perché contando i quadratini dei quadrati costruiti sui cateti e sommandoli, effettivamente si otteneva un risultato equivalente all’area di quello costruito sull’ipotenusa. Ma non capivo perché si potesse essere sicuri che valesse per tutti i triangoli rettangoli del mondo, dell’universo, per tutti i triangoli rettangoli possibili ed immaginabili. Questa cosa qua, che valesse per tutti, sempre, non mi era per nulla evidente, ed era quello che le stavo chiedendo di spiegarmi. E’ matematica, quindi è logica: se si afferma qualcosa, ragionavo nella mia mente di dodicenne, da qualche parte qualcuno lo avrà dimostrato.

Non mi rispose. Per i successivi anni di medie si diede per scontato che il teorema di Pitagora funzionasse, ma nessuno si degnò di spiegarci perché. Io risolsi centinaia di problemi applicandolo, il maledetto teorema di Pitagora, in maniera scrupolosamente corretta, perché poi, alla fin fine, ero una ragazzina ordinata e studiosa. Ma lo trovavo mortalmente noioso, come tutta la matematica, che si riduceva a questo: imparare a memoria una formula astrusa ed applicarla infinite volte a problemi simili, ma sostanzialmente tutti uguali.

Odiavo la matematica, e indovinate perché: era una cosa pallossissima e senza creatività, uno sbadiglio. Non ci trovavo nemmeno tutta questa logica, a dire il vero: perché nei compiti di grammatica, vivaddio, c’erano le regole, ma per analizzare la frase e decidere se una cosa fosse complemento oggetto o di specificazione, predicato verbale o nominale, un attimo di ragionamento dovevi farlo. Nei problemi di matematica no: c’erano i dati, c’erano le formule campate in aria e calate da chissà dove, tu identificavi il caso, applicavi la formula, facevi i calcoli e via, problema risolto, si passava al successivo.

Mi sono iscritta al liceo classico perché di matematica ce n’era poca. Non mi interessava, volevo solo incontrarla il meno possibile sul mio cammino. A parte un’insegnante, che purtroppo si fermò con noi un anno solo (ed era laureata in matematica pura), tutti gli altri che incontrai insegnavano la materia come la professoressa delle medie: formula dettata sul quaderno, diluvio di problemi tutti uguali da risolvere, sbadigli infiniti. La matematica ridotta ad un insieme di conti della serva e di casi specifici abbastanza idioti: vasche da riempire con l’acqua, aree di cortili da calcolare. E mai una spiegazione logica sul perché, per calcolare quel diluvio di cose inutili, si fosse escogitato quella formula specifica. Credere per fede e imparare a memoria, perché ai professori le domande non erano gradite, e chi le faceva veniva subito tacciato di non capire nulla, e di essere negato per la matematica, appunto, dato che non riusciva a comprenderla da sé. Che è come dire ad uno che è stupido e non è portato per il greco perché, messo davanti all’improvviso ad un passo di Tucidide, non lo traduce così, all’impronta, e senza vocabolario.

Sta cosa del teorema di Pitagora me la sono trascinata per anni. Noi umanisti, in fondo, ci soffriamo ad ammettere che spesso abbiamo scelto lettere perché la matematica non era cosa per noi; gran parte della superiorità con cui da secoli bullizziamo i vil meccanici è perché non siamo mai riusciti a capire come la vil meccanica funzioni; disprezziamo l’uva che non siamo riusciti a cogliere, ma siamo cordialmente ricambiati dal sonoro disprezzo dei “matematici” e “scientifici”, che invece non perdono mai occasione per accreditarsi come gli unici a possedere il patrimonio della logica, mentre noi umanisti siamo buoni solo a giocare con le parole, a capire le cose no.

Così stamattina, su Fb, ho fatto outing, e, taggando i miei contatti “matematici” di formazione o di mestiere, ho chiesto, molto umilmente, se qualcuno mi spiegava, finalmente, il perché del teorema di Pitagora. In capo a tre minuti, gli amici sono corsi in aiuto. Chi mi ha spiegato che la dimostrazione è valida per tutti i triangoli per via dei teoremi di Talete, chi mi ha dato la giustificazione in base alla somma degli angoli interni del triangolo. E infine Maurizio Codogno, che mi ha linkato un suo post sull’argomento, dove c’era la magnifica figura di dimostrazione che ho messo in capo a questo articolo.

Tre minuti netti. Ne sarebbero bastati altrettanti (o meno) di spiegazione da parte della mia professoressa, alle medie, trent’anni fa. Perché se sono arrivata a capirla oggi, la dimostrazione, che sono vecchia e arrugginita e non mi ricordo tre quarti delle cose che sapevo allora, a dodici anni l’avrei afferrata in due minuti e mezzo, forse anche uno.

Qualche giorno fa si discettava qua (per l’ennesima volta) sul fatto che le ore di greco e latino sono inutili, e bisognerebbe aumentare invece quelle di matematica e di scienze. Io, come molti classicisti, difendevo il latino e il greco perché aiutano ad imparare a ragionare. Sapete perché? Perché a me sono latino e greco che hanno insegnato la logica, la matematica no. Visto che era insegnata, dalle elementari in su, come vi ho raccontato: regole da imparare a memoria ed applicare senza reali spiegazioni. Forse anche perché gli insegnanti di greco e di latino sono quasi sempre laureati in greco e latino, mentre quelli di matematica sono laureati in decine di discipline diverse ed hanno loro stessi della matematica una conoscenza teorica non dico scarsa, ma molto finalizzata ai loro studi, per cui dei teoremi interessano loro le implicazioni pratiche, e quelle logiche no.

Sarò stata sfigata io, non dubito. Ma molti dei miei amici e conoscenti confermeranno l’esperienza: chi è bravo in matematica molto spesso lo è per talento innato, perché la capisce di suo. Se non fai parte degli eletti, resti al livello in cui ti annoi applicando formule la cui origine e le cui implicazioni non sono assolutamente chiare. E, alla fine, la odi.

Quindi io sono assolutamente d’accordo ad aumentare le ore di matematica e di scienze nelle scuole, soprattutto medie, per carità. Però non è che solo aumentando l’orario si otterranno grandi risultati. Ci vogliono anche insegnanti che la sappiano spiegare bene, o forse che la sappiano spiegare e basta, facendo capire quanto è bella ed interessante.

Adesso vi saluto: ho deciso che vado a studiare Talete ed Euclide. Sono ganzissimi, mi sa.

38 pensieri su “La matematica di Galatea, ovvero come si capisce a quarant’anni il teorema di Pitagora (finalmente).

  1. Io m’iscrissi allo scientifico perché amavo la matematica, ma lì riuscirono a farmela odiare. Sulla questione del teorema di Pitagora ho seguito il tuo stesso percorso, giungendo a questa dimostrazione (e anche altre che ho rimosso).
    In realtà la contrapposizione matematici-umanisti lascia il tempo che trova, o almeno la lascerei a chi crede ancora che il mondo sia divisibile in bianco/nero, nord/sud, etc. 🙂
    Con l’occasione, visto che ancora non l’ho fatto, esprimo i miei complimenti per il tuo blog e per gli articoli, sempre (quasi, altrimenti il tono è adulatorio) interessanti e anche divertenti, il che non guasta. Ciao. 🙂
    Antonio

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  2. Io ammetto di far parte degli “eletti”, la matematica l’ho sempre capita di mio. Però ho avuto al liceo un’insegnante, una di quelle che ti rimangono nel cuore per sempre, che aveva un approccio fantastico. Qualsiasi formula la spiegava partendo da un problema, ci faceva fare la dimostrazione, e solo alla fine ci dava la formula da applicare, spiegata così, te la ricordavi per sempre! Inoltre aveva un approccio personale per ciascuno. A me, che in genere capivo le cose prima degli altri e poi mi distraevo, dava spesso dei compiti extra che mi prendevano più tempo. Una volta mi ha dato da dimostrare il quinto postulato di Euclide, dopo settimane che mi ci scervellavo e non riuscivo a venirne a capo mi sono arresa, e le ho chiesto di spiegarmelo. Mi ha aperto il mondo delle geometrie non euclidee e da allora nonostante abbia scelto studi completamente differenti continuo a leggere saggi di matematica e a “giocare” con le dimostrazioni.

    Credo tu abbia ragione che il problema non è quante ore si fanno, ma il metodo dei professori, che dovrebbero essere in grado di far amare una materia ostica a molti (ah, questa professoressa era laureate in fisica, non credo sia questione di studi ma di personalità del docente), però non avevo mai pensato a come il greco e il latino possano rappresentare la logica per chi non l’ha trovata nella matematica, ti ringrazio per questa rilevazione! In ogni caso, la questione del metodo è applicabile ad ogni materia, ho avuto una professoressa di italiano che è riuscita a farmi pesare la sua materia nonostante sia sempre stata un’appassionata lettrice…

    Per concludere, vorrei consigliarti se non lo conosci il libro “Il teorema del pappagallo” di Denis Guedj, un romanzo in cui sono presenti molti argomenti matematici decisamente affascinanti ma spiegati a livello divulgativo e non tecnico, ci sono anche Talete ed Euclide 😉

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  3. Ciao galatea, ottimo post come sempre. Condivido, anche se qualche volta sono stato più fortunato con i professori. Poi, Pitagora (filosofo) deriva da Talete (filosofo) attraverso Euclide (matematico). Tout se tient.

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  4. Triste dirlo, ma esistono ancora insegnanti di latino laureati in psicologia. Garantisco che sono peggio della biologa che (non) mi ha insegnato matematica alle medie.

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  5. Dicendo “ganzissimi” hai fugato ogni dubbio sull’età da te dichiarata! 😀
    (Anche se dicevi “toghissimi”, probabilmente!)

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  6. Calci in culo agli insegnanti invece.

    Comunque, tanto per la cronaca, la matematica non ha fondamenti razionali. La matematica si basa su concetti primitivi che sono assunti cosi come sono, senza alcuna spiegazione o dimostrazione. Da quei concetti primitivi si deriva l’intera costruzione della matematica. Quale è la ragione? Che questi concetti primitivi sono innati negli esseri umani. Significa che chiunque, senza istruzione alcuna, possiede i concetti primitivi su cui si basa la matematica. Ma la conseguenza è che la matematica non si può dimostrare ne vera ne falsa al difuori di se stessa, quindi si configura come una metafisica.

    Il significato di “filosofia” che si assume nella vulgata è abbastanza differente dal significato originario. Infatti adesso fare filosofia significa perdersi in chiacchiere inutili mentre in origine significava fare della scienza, qualsiasi scienza. Il significato corrente è una banalizzazione, come tante altre, che serve a rendere la vita facile a gente fondamentalmente ignorante.

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  7. Strano dallo scambio su FB sembrava che tu capissi il teorema di Pitatgora meglio di un matematico proprio perché avevi fatto greco al classico

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  8. Pssss. Si dice coming out. Outing sono io che vado in giro a dire che “la Galatea non capisce un casso di matematica, che sfigata!”.

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  9. È questo il problema di fondo: non esistono insegnanti che siamo in grado di insegnarla. La mia esperienza: liceo scientifico (perché amavo la matematica e le scienze, e amo tutt’ora), 5 anni come ben sapete, ma 6 professori diversi di matematica. I primi quattro, nei primi tre anni, hanno distrutto la matematica in niente, il professore del quarto anno bravo per carità ma lento come una lumaca. E finalmente in quinta arriva la migliore, che poverina ha dovuto sudare le cosiddette sette camicie per recuperare le enormi lacune lasciate dagli altri. Per fortuna la matematica mi ha aiutata tanto, perché anche se mi imbottivano di notizie date per vere io i ragionamenti me li creavo da sola. E poi si sa, matematica e latino sono la stessa cosa.

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  10. Peraltro… ma quanto brutto è trasformare un verbo inglese (loro direbbero “I came out”, “sono uscito fuori [dall’armadio]”, non “I made a coming out”) in un…cos’è in questo caso, complemento oggetto? La geometria euclidea me la ricordo abbastanza, l’analisi logica un po’ meno.

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  11. Per me è stato il contrario:un’insegnante di matematica eccezionale che me l’ha fatta capire e amare e una di italiano che mi ha fatto detestare il latino. Gli insegnanti, ti cambiano la vita..

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  12. Non posso che essere d’accordo sul greco antico che insegna la logica, perché per capire una frase da tradurre a volte ti scervelli proprio come per una dimostrazione matematica – ma è una logica diversa. Penso che per chi non ha una mente matematica il modo in cui è insegnata oggi sia controproducente.

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  13. Alle medie ebbi la tua stessa esperienza. Alla domanda “perché funziona?” la professoressa, ridendo, mi rispose “chiedilo a Pitagora”. Mi venne un nervoso di quelli… Per fortuna allo scientifico trovai un professore bravissimo che ci insegnò a dimostrare i teoremi. Non ci spiegò la dimostrazione: la fece trovare a noi! Mitico prof. Rupeni 🙂
    Ricordo la tentazione di tornare da quella delle medie per prenderla per i fondelli, ma lasciai perdere!

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  14. mi sono sempre domandato se la matematica esiste di suo oppure è solo nella testa dei matematici

    per quella pochina del classico me la cavavo, ma non mi ha mai entusiasmato quanto le scienze naturali tipo biologia e simili

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  15. Diego, la matematica è fondamentalmente innata negli esseri umani. Tutti, indipendentemente da lingua e cultura, sanno contare. Il concetto di “numero”, il concetto di “successivo”, le operazioni fondamentali. Certo, sulla base innata col tempo, a tappe successive, è stata costruita tutta una struttura ultra-complessa e quella bisogna sia studiarla che adoperarla per assimilarla. Sarebbe interessante anche studiare come si è arrivati ad una certa scoperta ma di solito a scuola questa parte non si studia.

    Un limite evidente è che poi nella vita quotidiana cosi come non si parla il greco attico allo stesso modo non si risolvono equazioni con “n” incognite, per cui chi non usa il greco o la matematica avanzata per mestiere, tenderà a dimenticarne la maggior parte. Finche non ti capita di dovere ripassare la lezione con un figlio.

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  16. Guarda che il teorema di Pitagora (e gli altri postulati e teoremi di geometria euclidea) vale solo in uno spazio euclideo, dunque in uno spazio definito mediante particolari restrizioni. In altri tipi di spazio non funziona. Ma magari lo può spiegare assai meglio di me qualche matematico che si trovi a passare da queste parti.

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  17. a me la matematica piaceva assai, ma anche italiano e disegno
    i cattivi insegnanti fanno male a qualunque materia: gente traumatizzata dal greco al liceo va in shock anafilattico guardando hercules della disney…
    personalmente ho capito davvero l’importanza della matematica leggendo “storia della filosofia occidentale” di bertrand russell, anzi da lì viene fuori l’interesse per la scienza (anche la parte che capisco meno per mancanza di basi)

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  18. Le formule calate dall’alto da applicare non sono matematica.
    Meno male che in quella vera ci sono le dimostrazioni, anche quelle senza parole.

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  19. @ lorenzo, giustamente, come scrivi, c’è una certa matematica innata, ma è proprio l’altra, quella evolutasi culturalmente, che non riesco a capire se è in qualche modo presente anche nel mondo reale oppure no

    @ caro lector, io credo che una persona comune abbia molta difficoltà comunque ad afferrare una geometria non euclidea, perchè quest’ultima assomiglia, ripeto assomiglia, alla realtà

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  20. Cara Galatea, da ex insegnante di mat di scuola media, peraltro laureata in biologia, mi sento di dover dolcificare un po’ quanto é stato detto. Ti assicuro che per la maggior parte degli insegnanti gli studenti spaccaballe e i loro interventi costituiscono gli unici momenti di gratificazione di lunghe mattinate di calma piatta.
    La dimostrazione, chiarissima e semplice, che ti ha illuminata é stata da me cassata diversi anni fa perché la reazione degli astanti era immancabilmente:
    – ma prof, non vorrà mica sapere anche tutta sta roba?-
    Nella maggior parte delle dimostrazioni comunque é necessario basarsi su concetti che gli studenti dovrebbero giá conoscere e questo per dire che la matematica non va solo capita, va anche studiata. Certamente per i ragazzi é molto piú semplice ubriacarsi di espressioni a piú piani, ma la geometria é un’altra cosa……..

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  21. Per Sará bianchi i: Il teorema del pappagallo é un romanzo molto piacevole e corretto. A me é servito anche nella didattica. Biblioteca d’istituto?

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  22. Da innamorato della matematica, i miei ricordi degli insegnanti medie/liceo sono quasi totalmente pessimi. Non so se la cosa sia cambiata di tempi del mio giurassico, ma temo che il problema all’epoca fosse (non solo ma anche) il fatto che per insegnare matematica bastava aver fatto qualche facoltà scientifica, con un esame matematico e dire grazie.
    Per tacere il fatto che la matematica, anziché come materia “per pensare” veniva presentata al più come ricettario: il problema è di questo tipo -> si fa così e punto. Tristezza.

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  23. @–>Diego

    Noto però che ci sono pochi matematici tra le frequentazioni di questo blog. Se ci fossero stati, si sarebbero lanciati come piranha sull’esca che avevo buttato loro.
    O forse no. Magari è la proverbiale misantropia del matematico a prevalere.

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  24. Guarda, io ho fatto lo scientifico. Mi sono presa i miei debiti e le mie insufficienze. Poi mi sono rotta e ho deciso di prendere ripetizioni da una prof del classico (pagate care). Lei ovviamente mi ha spiegato delle cose che io non solo ho capito ma sono stata in grado addirittura di spiegarle alle mie compagne. Molte cose di quell’argomento me le ricordo tuttora. Per i professori del liceo e delle medie ero semplicemente stupida e incapace di capire.

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  25. Che gli insegnanti di matematica al liceo a volte siano inadeguati è vero. Però bisogna anche precisare due cose: la prima è che, per poterapprezzare la matematica, bisogna acquisire una certa dimestichezza, e ciò si ottiene – a meno di predisposizioni – a suon di esercizi: esattamente come, per suonare bene, è necessario annoiarsi a lungo con scale, arpeggi ed esercizi di tecnica. La seconda, è che, come dicevo, gli striminziti programmi di matematica del liceo (salvo forse lo scientifico) si interrompono a questo punto, senza mai trattare la vera matematica, quella delle dimostrazioni, delle formulazini eleganti e dei problemi complessi.
    L’insegnamento della matematica al liceo corrisponde, più o meno, ad un insegnamento di greco o latino ridotto alle declinazioni e all’apprendimento dei paradigmi a memoria (non ditemi che apprendere “rosa rosae” insegna la logica…).

    Concludo dicendo che lo stesso fatto che per lo stato italiano chiunque possa insegnare matematica e fisica dimostra quanto e scienze pure siano maltrattate.

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  26. @ -> herato: certo, serve ANCHE il solfeggio, ma come accenni anche tu se fai solo quello ti tagli le vene… Io ricordo ancora con brivido, terrore e raccapriccio (e ripeto, io sono laureato in matematica e amo ancora la materia) i mesi (MESI!) passati in IV liceo scientifico a fare esercizi con il metodo di Tartinville imparato a memoria e applicato bovinamente passo1 – passo2 – passo3… se è A allora B altrimenti C… per tacere della “preparazione” all’esame di maturità dove di nuovo l’importante era conoscere il ricettario e i passi obbligati…

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  27. Qui a quanto pare sembra che la maggior parte di voi non avesse alcuna difficoltà, ma anzi, trovasse fin troppo semplice e ripetitivo ciò che veniva fatto.
    Buon per voi! Dimostrate appunto che bisognerebbe farne di più, di matematica!
    (ma….in quarto scientifico non bisognerebbe cominciare con le derivate e l’analisi?)

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  28. Non ti mettere a difendere Tartinville, che sarebbe più facile difendere Caino dall’accusa di fratricidio 🙂
    Io parlo dei miei tempi, al IV c’era soprattutto trigonometria, ‘per cui’ l’analisi (ricca di seni e coseni) era SOLO al V anno. Non so adesso, ma temo

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  29. Io non vorrei sbagliare ma mi sembra proprio che per insegnare matematica ai licei sia richiesta la laurea in matematica mentre alla scuola media questa disciplina, essendo abbinata a scienze, può venire insegnata anche dai laureati in scienze biologiche, scienze naturali, farmacia e forse anche geologia.
    Credo peró che il problema della facoltá di provenienza sia abbastanza ininfluente perché i commenti precedenti fanno riferimento al metodo di insegnamento, non alle competenze specifiche. Devo dire che non tutte le esperienze sono negative come appare qui, nella mia classe di liceo classico(30 alunni) solo cinque hanno scelto facoltà umanistiche o giuridiche, tutti gli altri hanno optato per facoltá scientifiche pur avendo risultati buoni o anche molto buoni in latino e greco.
    Qualcosa vorrá pur dire.

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  30. @herato: certamente il solfeggio e` utile cosi` come gli esercizi di tecnica, ma dipende moltissimo da come il solfeggio viene insegnato. Obbligare un bambino di otto anni a solfeggiare sul Bona ed a farre gli esecizi dell’Hanon e` un modo sicuro per fargli odiare la musica. Ok l’Hanon fa odiare il pianoforte a tutte le eta` meglio passare direttamente a Czerny, a Bach od a Bartok.

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  31. Devo aggiungere una cosa. L’analisi del linguaggio e` una delle branche piu` importanti dell’informatica, la quale nasce dalla logica e dalla matematica.
    L’analisi dei linguaggi naturali e` una delle branche dell’intelligenza artificiale, ma poter scrivere interpreti e compilatori per i linguaggi di programmazione e` direi fondamentale per l’informatica. Aggiungerei anche un po’ noioso e piuttosto difficile da fare bene.

    Ma se invece parliamo di linguaggi naturali, che differenza c’e` tra l’imoarare l’attico ed il demotico? Mente per quest’ultimo un’ottima tecnica e` quella di fare un corso base di un 200 ore e poi andare in vacanza da soli ad Atene, per il primo non si puo` e quindi si utilizzano altre tecniche .

    Probabilmente se una materia viene presentata in maniera noiosa e piatta senza dare la possibilita` all’allievo di uscire dai rigidi binari dell’imparare a memoria le risposte del libro, diventera` cosa noiosa e poco interessante.

    Se dai ad un ottenne un Raspberry Pi (od uno ZX 81 ai tempi) e` possibile che da solo si appazzioni all’informatica ed alla programmazione. Se lo costringi ad inutili esercizi con un sistema didattico chiuso e` sicuro che non vorra` aver nulla a che fare con i computer. Sfortunatamente per un insegnante non interessato dover stare dietro ad alunni che fanno cose svariate anziche` segure la lezione precotta e` piu` faticoso.

    Io? dopo essrmi letto diversi files trovati sulle BBS avevo trovato un exploit VMS ed ero diventato SYSTEM sul VAX della scuola. Ed avevo scwelto l’ITIS anziche` il liceo perche` la professoressa di italiano era riuscita a farmi odiare Calvino e Primo Levi.

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  32. Letto il post e confermo che sei grande nello spiegare.
    La matematica? Sarò un eletto, come dici ma non sono mai riuscito a mandare a memoria nessuna formula. Ci arrivavo alla soluzione per ragionamento, seguendo un filo logico, che spesso, prof compresi, sembrava astruso ma che per me era razionale. Sarà sttao il frutto dell’analisi logica in italiano, del latino studiato come se fossi stato un umanista? Non lo so ma le soluzioni non erano un meccanismo da applicare senza un raginamento. Forse la mia fortuna è stat quella di trovare dei prof con gli attributi, anche se a volte ne trovavi di fettenti (i miei ricordi scolastici sono più anziani dei tuoi trenta).

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